Potenciacion y Radicacion
 

 

Potenciacion y Radicacion

Tipos de números
Potenciacion
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:

Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:


Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.



Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.



División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.



Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.




En general:



En particular:

(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En general:



En particular:

ab = ba
Si y sólo si a=b.


Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

a0 = 1 si se cumple que

Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

a1 = a

Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.

101 = 10

como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente

106 = 1000000
104 = 10000

Gráfico

gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

imagen
imagen
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.

Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.

La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.

Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaría 156

5- después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz.

En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23...

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener realmente.

En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- después repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235...

11- después repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

12- A continuación repetimos el paso 8

En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

14- A continuación repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raíz seria 2358

15- A continuación repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.

Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:

ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236